南無阿弥陀仏と無限大 ∞

 

南無阿弥陀仏は、ほとんどの人が知っているだろう。しかし、漢字が意味するところは仏の所しかわからない。その理由は、この言葉はもともと、インドのサンスクリット語の発音を中国の漢字で表したものだからだと本で読んだことがある。（他の例をあげる。マルクス（Marx）を中国では、馬克思と書く。中国人の姓で馬を名乗る人がいるし、克思の意味もそれらしく感じられるところが妙訳だ）。その本を本棚に探す事はここではしないので、以下は、うろ覚えである。英語の起源をインド・ヨーロッパ(印欧)語源で説明してあったところに出ていた。一番よく覚えているのは、catch, cap, have の語源が、印欧語で動物(牛)の頭を両手でつかむことを表したkapから来ているというところだ。印欧語を話す語族はカスピ海付近で始まり、そこでは牧畜が盛んだった。それで、この説明は納得がいく。この語族はその後、インドとヨーロッパに散っていった。それで、インドとヨーロッパの言葉は共通の起源を持っている。

話を元に戻す。南無阿弥陀仏は英語風に書くと、Name ameter Buddaだと書いてあったと思う。なるほど、ナムアミダブツに近い。「測りがたいほどの(徳のある)、仏の名前を唱えなさい」と言うものだ。ameterの語源はおおよそ見当がつく。シップリー英語語源辞典 (この本はとても面白い。読む本がないとき、適当なページを開いて気になる単語のところを見るだけで楽しい) に当たってみたけど出てなかった。例によってネット検索すると、「me, meter, metry (量る)の英単語の意味まとめ」として出ていた。ameter のa は否定を表す接頭辞である。それで、量れないの意味になる。以上で前置きを終わる。

「無量大数」と言うものがある。これも、仏教用語だ。量ることができない大きな数、すなわち ∞を意味していると思っていた。調べてみると大きい数だけども有限の値のようだ。ところで、∞と言う概念はいつ頃出てきたのだろうか。∞ はある程度想像できるけれど、数学になると最も難しい概念のような気がする。数学は無限大との闘いだと私は思う。無限大あるいは無限大に近い数がなければ、たいていの数学の問題は解けるだろう。例えば、フェルマーの最終定理　xⁿ+yⁿ=zⁿ（x, y, z, n :正の整数）を考える。この式を満たすnは、1と2 しかないで、3以上では成立しないと言うものだ。証明にはn= ∞まで考えなければならないのが辛い。nが有限なら計算機で確かめることができる。これは、フェルマーの死後330年経った1995年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理またはフェルマー・ワイルズの定理と呼ばれるそうだ。

 

デジタル通信で、盗聴を防ぐ暗号化方式において、復号で用いる秘密鍵を便利で安全に送る方法として、公開鍵暗号方式が使われている。この原理の一つは、一般的なアルゴリズムがないために、大きな整数の素因数分解が高性能計算機を用いても何年も時間がかかることを利用している。もう一つの原理は、フェルマーが発見したものである。整数mと素数p が与えられた時に、m^p-1(mod p)=1となる性質である。ここで、(mod p) はpで割って余りを示している。この性質を用いることで、暗号化したときデータ量が増えるのを防ぎつつ、受信側で元のデータmを復元できる仕掛けになっている。

 

物理学では方程式を解いて問題を解明することが多い。このとき、∞を含むと正しく解けていないことがある。自然界で ∞ の値を取る物理量は存在しないと考えられているからだ。時間や距離などはそうである。量子力学は熱輻射エネルギーがそれまでの理論で計算すると無限大になることを解決することから始まった。そこで熱エネルギーは飛び飛びの値(量子) を取る必要があると言う結果になった。宇宙物理学で有名なホーキングの弟子であったペンローズは物理で、∞ を認めており、ややオカルト的思考も持っていたと言う。ホーキングはこの点で彼をたしなめたそうだ。ペンローズは2020年のノーベル物理学賞を受賞している。本来は、ホーキングがもらうべきだったかもしれない。先のブログで紹介した本では、量子重力理論におけるループ理論は、物理の世界では無限大も無限小もないという立場をとっているようだ。

 

量子力学の数学的理論を作ったディラックは、彼の理論で∞が出てくることを気にしていたと、上の本に書いてあった。彼は、デルタ関数d(x)を定義して、これを使って問題を解いた。d(x)はx=0 以外では0となり、x = 0で ∞の値をとる。また、積分すると1になる。シュワルツは、通常の数学理論からしたら、これらの関係は両立しない (積分しても0になる)として、関数の概念を拡張して超関数 (distribution)を作った。けれども、デルタ関数を細長いパルス状の関数（面積が1）の極限と考えれば特に不都合なものではない。極限を積分の外で取るとすれば、デルタ関数はある物理量、例えば電荷を考えれば物理でよく用いられる、点電荷の概念を表している。数学における点とは、幅のないものであるから密度は無限大になることがあるものの、積分して得られる電荷量は有限に定まる。

 

デルタ関数は線形微分方程式を解く際にも有効である。この方程式の入力（外力）x(t)として、デルタ関数d(t)を特別に与えた場合の出力y(t)をインパルス応答としてh(t)とおく。任意の入力x(t)を与えたときの出力y(t)は、x(t)とh(t)のたたみ込み積分として解が求まる。このような考え方はマクスウェルの方程式で、外力である波源x(t)によって生成される電磁波はインパルス応答に対応するグリーン関数を用いて与えられることに対応している。

計算機も我々同様に∞を直接扱うことはできない。それで、無限に続く関数f(t)のフーリエ変換は計算機では扱えない。無限大に少しずつ近づける極限を取るしかない。ところが、数学の世界では超関数として理論を完成させている。超関数は関数の概念を抽象化させて、従来の積分の概念を捨てている。無限に続く関数f(t)（超関数）のフーリエ変換は、そのままでは実行できないので、性質の良い関数を相手として連れてきて、超関数がこれに与える効果として定義している。超関数ではない通常の関数では、この方法と従来の方法とで結果が一致するので、突飛な方法ではないとはいえる。しかし、フーリエ変換の定義を従来のものから変えてしまうのはどうかと思う。

 

私は、計算機でのフーリエ変換の処理を行うことをイメージして、無限移行の方法で、無限に続く関数f(t)のフーリエ変換の理論を作ろうと意図している。これは、従来の初等数学の範囲内ですべての数学的な処理を行うものである。私としては、矛盾のない議論ができていると思い、数学論文として投稿している。これまで、日米の数学会には門前払いを食った。古巣の電子情報通信学会では、書き直しをしながら、3度も掲載を却下されている。査読者は超関数を認めている、すなわち、無限を頭の中に理解しているように思える。私には無理である。無限とは一体何者か。