超関数のフーリエ積分

 

私の数学論文が９回も落とされており、懲りずに10回目の投稿への原稿書き直しと査読者への反論を書き終えて寝かしていることは、先のブログに書きました。先々日に大きな進展があったので書きます。

 

論文拒絶の理由で最後まで残っていたのは、絶対可積分でない関数に対する私の方法 (定義) が不明瞭、悪く言えば眉唾ものだという指摘でした。私の提案方法を「コロンブスの卵」（彼が立たない卵をどうやって立てたか知っていますか）として、反論をしてきたけども受け入れてもらえないでいる。この件について、私の方法を支持する決定的な数学証拠を見つけることができました。コロンブスの卵を持ち出すこともなく、私の方法は従来のフーリエ変換理論と全く同じであることが分かったのです。

 

その前に私の論文の動機・意図を説明します。無限に続く三角関数などの、積分できない関数は、従来のフーリエ変換理論では対処できない（と思われていました）。そこで、有名な数学者シュワルツ（Schwartz: 数学のノーベル賞と言われるフィールズ賞受賞者）は、これを超関数 （恐ろしげな名前. これは和訳がおかしい. 原義は分布(distribution) であり、関数 (function) を広く解釈しただけ）を使って新しい数学理論を打ち立て、これを用いて絶対可積分でない関数のフーリエ変換の問題を解決した。ただし、フーリエ変換の定義が今までのものからガラリと変わっている。無限に続く三角関数のフーリエ変換はデルタ関数となる。これは、物理学者のディラック(Dirac: ノーベル賞受賞者)が量子力学を記述するために発明した。

 

それで、従来の初等的方法（定義）で議論する方法が提案されている。ただし、あまり知られていない。その理由は、その方法が手の込んだもので使いづらいからである。超関数理論の結果は随分と簡単であり、これを使えば済む話だ。ただし、超関数理論をそのものを理解している人は少ない。かく言う私も最近までその1人。スマホの中でどのような無線通信がなされているか知らないで、使っているだけの状況と同じ。ただし、大学でフーリエ変換やデルタ関数を講義するからには、先生がその道具の中身を理解していないと、学生は騙されていると感じるだろう。そのように感じる学生は先生の説明を鵜呑みにしないで、自分の頭で考える習慣を持った優秀な学生である。

 

それで、超関数理論を使わない昔ながらのフーリエ変換を用いた講義をしたい。そこで思いつくのが、積分できない関数を積分できるように加工してから、従来のフーリエ変換をすることです。ただし、加工した影響を補償しなければならない。その方法が極限移行です。積分できない関数とは積分すると無限大になる関数です。無限大に対処（理解）する方法は、今のところ極限移行しかないようだ。私の方法は、無限に続く関数を一旦打ち切ったのちにフーリエ変換逆変換を行い、そののち、補償のための無限大移行を行うものです。それで簡単です。私はこれを一般化極限フーリエ変換 (Generalized limit Fourier transform) と名付けている。そして私の考えを「コロンブスの卵」に例えた。しかし、査読者は納得してくれないでいる。私の数学素養のなさを指摘して、数学者が分かるように書けと言われて困っている。

 

査読者に理解してもらう方法をいろいろ考え続けてきた。特に、夜中にアイデアが浮かぶ。忘れないように、布団から出て紙に書き連ねる。それの繰り返しであった。もともと考えるのが大好きなので、全然苦にならない。むしろ、至福の時間である。ついに、一昨日、福岡市の病院に行く途中の電車の中で頭の中で式を導出していて、香椎駅を過ぎ多々羅川を渡って箱崎に至る頃、はたと気がついた。私の方法は、フーリエ級数からフーリエ積分に至る極限移行そのものを、積分できない関数に対して表現しているだけなのである。通常は、積分できる関数を扱うので、極限移行が消える数式表現（定義）になるので、気がつかなかった。これまでの初等的方法も私の方法も、極限移行が消えた数式表現（定義）に引きずられていたのだ。詳しくは、別紙をみてください。原稿に書き加えた部分を抜き出したので、英語のままです。

 

昨夜はカミさんと祝杯をあげた。偶然にも結婚48周年の日でもあったからだ。もっとも我々は忘れていた。これまで一度も祝ったことがない。娘が仕事を休んで歯医者に来てケーキを持ってきたので気がついただけだ。晩飯のおかずは奢って、フグの刺身だ。ただし、安売り屋の千円のもの。身が厚かったけど柔らかく味ももう一つ。貼り付けてあった説明書を見ると身はショウサイフグ、付属の皮身のみトラフグだった。