9の倍数の不思議な性質（続き）- 解決した -

 

孫娘とその母親 (息子の嫁) が小学校算数について、私に聞いてきたことから始まったこのいきさつは、先のブログに書いてある。元はと言えば、掛け算の九九の9の段の答えで、1の位と10の位の数を足すと9になるのはなぜかだった。私が答えを見つけて説明していたとき、10 × 9 = 90も同じようになる。しかし、11 × 9 = 99となって、だめだねと言ったところ、母親が99に対してもう一回9 +9 = 18とすると1+8 = 9になると指摘してくれた。他の数でやって確かにそうなるけども、私には解けないでいた。

 

私のブログの読者に最近なっていた、Tさんから、昨日、解答が届いた。9の倍数Nを次のように表現する。

 

                N = a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 +・・・a₁10 + a₀

 

これを次のように展開する。

 

       N = a_n(10ⁿ-1) + a_n-1(10^n-1-1) +・・・a₁(10 -1)

              + a_n+ a_n-1+・・・+ a₁+ a₀

 

上の段の数は、9で割り切れる。したがって、下の段の数

 

       N^‘= a_n+ a_n-1+・・・+ a₁+ a₀

 

も、9で割り切れる。

 

これに対して、上と同じ操作を繰り返せば最後には9となる　(証明終わり)。

 

[定理]   9の倍数である任意の整数を十進法で表した各桁の数字の和を作る。これを繰り返すと最終的には9となる。

 

Tさんの証明は、式の変形をまず演繹的に行った後、これを繰り返す帰納法で行っている。私ができなかったのは、小さな数から始まって、帰納法のみで解こうとしたからである。

 

私のブログについては、うざいから連絡するのをやめてくれと正直に言ってくれた人もいる。しかし、熱心に反応してくれる方も少なからずいる。今回の件は、私のブログへの意欲を増してくれた。私はテニスでもゴルフでも、他人の褒め言葉に乗ったら、怖いくらいに調子に乗ることが多い。